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Apellido vasco. Del barrio de su nombre, ayuntamiento de Musques, partido judicial de Valmaseda en Vizcaya. Afirma, entre otros tratadistas, el Padre Tomás de Llano, que el primero en adoptar este apellido fue un hijo de Ordoño Zamudio, que se llamó Iñigo Ordóñez de la Cuadra y sirvió al Rey Don Fernando I el Católico, a quien salvó la vida en Barcelona, cuando el Monarca fue agredito por un labrador llamado Cañamás. Los Cuadro entroncaron con la familia Salcedo, por lo que se apellidan Quadra-Salcedo. Este linaje se dividió en varias ramas, pasando una de ellas e Chile y otras a Durango y a Sevilla. Probó su nobleza en las Ordenes Militares. Don Felipe V creó Marqués de Villarias, en 22 de marzo de 1739, a Don Sebastián de la Cuadra. Don Alfonso XII creó Marqués de Guadalmina, en 11 de agosto de 1876, a don Luis Manuel de la Cuadra y Gonzáles de la Rasilla. En 27 de febrero de 1893, se autorizó a Don Enrique de la Cuadra y Gibaja para usar en España il título pontificio de Marqués de Gibaja. Otra casa muy antigua. Tomaron los de este linaje su apellido del barrio La Cuadra, del Ayuntamiento de Musques y partido judicial de Valmaseda (Vizcaya). Así lo confirman varios tratadistas, entre ellos el Padre Tomás de Llano, que afirma que el primero que adoptó ttal apellido fué un hijo de Ordoño Zamudio, que se llamó Iñigo Ordóñez de la Cuadra y sirvió al Rey don Fernando I el Católico, al que salvó la vida en Barcelona cuando éste Monarca fué agredido por el labrador Cañamás. Entroncaron con los Salcedo, apellidándose muchos Quadra-Salcedo. El linaje se dividió en varias ramas, que pueden verse en nuestra "Enciclopedia Heráldica y Genalógica". Una radicó en Durango, otra pasó a Chile